قضیه ۳۱.۱: ضرب اسکالر در بردار صفر ($a\mathbf{0} = \mathbf{0}$)

۱. تصویر کلان و مقایسه بنیادین با قضیه قبلی

این قضیه برادر دوقلوی قضیه ۳۰.۱ است، اما یک تفاوت ساختاری بسیار مهم دارد:

در هندسه دبیرستان، اگر یک نقطه در مبدأ مختصات باشد، هر چقدر هم آن را با مقیاس $a$ بکشیم یا فشرده کنیم، چون فاصله‌اش از مبدأ صفر است، باز هم در همان مبدأ باقی می‌ماند. این قضیه همین شهود هندسی را برای هر فضای برداری دلخواه و به طور دقیق اثبات می‌کند.

appName: classic
width: 700
height: 380
showToolBar: false
showAlgebraInput: true
showMenuBar: false
commands:
  - "Origin = Point({0, 0})"
  - "O = (0, 0)"
  - "ZeroVec = Vector(O, O)"
  - "ScaledPos = 3 * ZeroVec"
  - "ScaledNeg = -2 * ZeroVec"
  - "Pt1 = (2, 2)"
  - "v_ref = Vector(O, Pt1)"
caption: "پایداری بردار صفر در مبدا تحت ضرب در هر اسکالر دلخواه a*0 = 0"
explain:
  - "بردار صفر دارای طول صفر است و نوک آن بر مبدا Origin=(0, 0) قرار دارد."
  - "هر اسکالر مثبت یا منفی (مانند ۳ یا ۲-) در بردار صفر ضرب شود، طول حاصل همچنان صفر بوده و نقطه از مبدا جابه‌جا نمی‌شود."

۲. صورت دقیق ریاضی قضیه

۳. نقشه راه و استراتژی اثبات (Proof Strategy)

• نوع اثبات: اثبات مستقیم جبری با اتکا به توزیع‌پذیری نوع اول.
• ایده محوری:
  1. می‌دانیم که بردار صفر با خودش جمع شود باز هم بردار صفر است: $\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0}$.
  2. عدد $a$ را در این تساوی برداری ضرب می‌کنیم: $a\mathbf{0} = a(\mathbf{0} + \mathbf{0})$.
  3. با استفاده از توزیع‌پذیری اسکالر روی جمع بردارها، پرانتز را باز می‌کنیم: $a\mathbf{0} = a\mathbf{0} + a\mathbf{0}$.
  4. با افزودن قرینه بردار $a\mathbf{0}$ به طرفین تساوی، یکی از جملات ساده شده و $a\mathbf{0} = \mathbf{0}$ به دست می‌آید.

۴. اثبات دقیق گام‌به‌گام (Step-by-Step Proof)

گام اول (استفاده از تعریف بردار صفر در فضا):

فرض کنید $a \in \mathbb{F}$ یک اسکالر دلخواه باشد. چون $\mathbf{0}$ عضو همانی جمعی در فضای برداری $V$ است، طبق اصل موضوعه چهارم فضای برداری داریم:

حال طرفین این معادله را از سمت چپ در اسکالر $a$ ضرب می‌کنیم:

گام دوم (اعمال خاصیت توزیع‌پذیری اسکالر روی بردارها):

طبق اصل موضوعه هفتم فضای برداری (تعریف ۲۰.۱)، برای هر اسکالر $a \in \mathbb{F}$ و هر دو بردار $u, w \in V$ داریم:

با قرار دادن $u = \mathbf{0}$ و $w = \mathbf{0}$ در این رابطه:

گام سوم (افزودن وارون جمعی به طرفین تساوی):

بردار $a\mathbf{0}$ عضوی از فضای برداری $V$ است. طبق اصل موضوعه پنجم، این بردار دارای یک وارون جمعی است که آن را با $-(a\mathbf{0})$ نشان می‌دهیم. این وارون را به هر دو طرف معادله اضافه می‌کنیم:

گام چهارم (ساده‌سازی طرف چپ):

طبق تعریف وارون جمعی، حاصل‌جمع هر بردار با وارونش، بردار صفر است:

گام پنجم (ساده‌سازی طرف راست با خاصیت شرکت‌پذیری):

طبق اصل موضوعه شرکت‌پذیری در جمع بردارها:

عبارت داخل پرانتز دوم به دلیل تعریف وارون جمعی برابر $\mathbf{0}$ می‌شود:

و در نهایت، طبق ویژگی عضو همانی جمعی ($v + \mathbf{0} = v$):

گام ششم (نتیجه‌گیری و پایان اثبات):

با برابر قرار دادن نتایج طرف چپ و راست:

حکم با دقت کامل و گام‌به‌گام به اثبات رسید $\blacksquare$

۵. نکات کلیدی و هشدارهای امتحانی

۶. پیوندها و گام‌های بعدی

• پیش‌نیازها و قضایای استفاده‌شده:
  • تعریف ۲۰.۱: اصول موضوعه فضای برداری
  • قضیه ۳۰.۱: ضرب عدد صفر در بردار
• پیامدهای مستقیم و قضایای بعدی:
  • قضیه ۳۲.۱: اثبات رابطه (-1)v = -v
• فهرست مرجع فصل:
  • نقشه راه فصل اول: فضاهای برداری