صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه ۲۸)

ثابت کنید که برای هر $v \in V$ داریم:

$$-(-v) = v$$

اثبات به روش اول (مبتنی بر تعریف و یکتایی وارون جمعی)

گام اول (آزمون وارون بودن $v$ برای $-v$): طبق تعریف وارون جمعی در تعریف ۲۰.۱، بردار $-v$ وارون جمعی بردار $v$ است؛ یعنی:

$$v + (-v) = 0$$

با اعمال خاصیت جابه‌جایی جمع (اصل موضوعه ۱ از تعریف فضای برداری):

$$(-v) + v = v + (-v) = 0$$

گام دوم (معنای معادله به دست آمده): تساوی $(-v) + v = 0$ بیان می‌کند که بردار $v$ وقتی با بردار $(-v)$ جمع می‌شود، بردار صفر را تولید می‌کند. به عبارت دیگر، $v$ نقشی دقیقاً به عنوان یک «وارون جمعی» برای بردار $(-v)$ ایفا می‌کند.

گام سوم (به‌کارگیری قضیه یکتایی): طبق قضیه ۲۷.۱، هر بردار در یک فضای برداری دقیقاً و تنها یک وارون جمعی دارد. وارون جمعیِ بردار $(-v)$ طبق قرارداد با نماد $-(-v)$ نام‌گذاری می‌شود. چون $v$ یک وارون جمعی برای $(-v)$ است و این وارون منحصر‌به‌فرد است، الزاماً باید داشته باشیم:

$$-(-v) = v$$

حکم با موفقیت اثبات شد. $\blacksquare$

روش دوم (اثبات جبری با استفاده از قضیه ۳۲.۱)

طبق قضیه ۳۲.۱، برای هر بردار $u \in V$ داریم $-u = (-1)u$. با قرار دادن $u = -v$:

$$-(-v) = (-1)(-v)$$

بار دیگر برای خود $-v$ از همین رابطه استفاده می‌کنیم:

$$-(-v) = (-1)\big((-1)v\big)$$

طبق اصل موضوعه شرکت‌پذیری ضرب اسکالر ($(ab)v = a(bv)$):

$$(-1)\big((-1)v\big) = \big((-1)(-1)\big)v$$

در میدان اعداد $\mathbb{F}$ (مانند $\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$)، ضرب دو عدد منفی یک برابر با عدد مثبت یک است: $(-1)(-1) = 1$. پس:

$$\big((-1)(-1)\big)v = 1v$$

سرانجام، طبق اصل موضوعه همانی ضرب اسکالر ($1v = v$):

$$1v = v$$

در نتیجه زنجیره تساوی‌ها به دست می‌آید:

$$-(-v) = (-1)(-v) = (-1)\big((-1)v\big) = \big((-1)(-1)\big)v = 1v = v \quad \blacksquare$$

نکات باریک‌تر از مو

1. اشتباه گرفتن منفی در بردارها با منفی در اعداد معمولی: علامت منفی در پشت یک بردار یک «عملگر جبری انتزاعی» (عضو قرینه جمعی) است، نه لزوماً ضرب در عدد $-1$، مگر اینکه قضیه $(-1)v = -v$ را قبلاً اثبات کرده باشید یا از اصول موضوعه تعریف استفاده کنید. ساده‌لوحانه نوشتن «منفی در منفی می‌شود مثبت» بدون استناد به اصول موضوعه فضای برداری، نمره کامل اثبات را مخدوش می‌کند!
2. فراموش کردن اصل یکتایی وارون جمعی: نشان دادن اینکه $(-v) + v = 0$ تنها نیمی از مسیر است؛ باید تصریح کنید که چون وارون جمعی یکتا است، برداری که در این رابطه صدق می‌کند حتماً همان $-(-v)$ است.