رفتن به متن
باغ ریاضی
تمرین ۷ بخش ۲.۱ فضای برداری توابع
تنظیمات مطالعه
تنظیمات مطالعه

تمرین ۷ بخش ۲.۱ فضای برداری توابع

#تمرین#حل_تشریحی#فصل_۱#بخش_۲نسخهٔ رسمی

یادداشت شما ذخیره شد

می‌خواهید این تغییرات برای مدیر وب‌سایت هم ارسال شوند؟ نسخهٔ رسمی تنها پس از تأیید تغییر می‌کند.

تمرین ۷ بخش ۲.۱: ساختار فضای برداری روی مجموعه توابع VSV^S

صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه ۲۹)

فرض کنید SS یک مجموعهٔ ناتهی و VV یک فضای برداری روی میدان F\mathbb{F} باشد. فرض کنید VSV^S مجموعهٔ تمامی توابع از SS به VV را نشان دهد:

VS={f∣f:S→V}V^S = \{ f \mid f: S \to V \}

یک جمع و ضرب اسکالر طبیعی روی VSV^S تعریف کنید، و نشان دهید که VSV^S با این تعاریف یک فضای برداری روی F\mathbb{F} است.

۱. تحلیل اولیه و باز کردن خواسته مسئله

  • داده‌های مسئله:
    • SS یک مجموعه دلخواه و ناتهی (می‌تواند متناهی مانند {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\} یا نامتناهی مانند R\mathbb{R} باشد).
    • VV یک فضای برداری دلخواه روی میدان F\mathbb{F} است (که تمام اصول موضوعه دهگانه را ارضا می‌کند).
    • VSV^S مجموعه نگاشت‌های از دامنه SS با مقادیر در فضای برداری VV است.
  • حکم مسئله:
    • تعریف دو عملگر جبری:
      1. جمع دو تابع: +:VS×VS→VS+: V^S \times V^S \to V^S
      2. ضرب اسکالر در تابع: ⋅:F×VS→VS\cdot: \mathbb{F} \times V^S \to V^S
    • اثبات دقیق و گام‌به‌گام برقراری تمامی اصول موضوعه ده‌گانه فضای برداری (تعریف ۲۰.۱) برای VSV^S.
  • چک‌لیست ابزارهای مورد نیاز:

۲. ایده و استراتژی حل (Problem-Solving Strategy)

طبیعی‌ترین راه برای جمع کردن دو تابع یا مقیاس کردن یک تابع، انجام محاسبات به ازای تک‌تک ورودی‌ها (Pointwise) است. چون خروجی هر تابع یعنی f(s)f(s) عنصری از فضای برداری VV است، ما از پیش تمام قوانین جمع و ضرب اسکالر را در مقصد (VV) داریم! استراتژی کلی ما چنین است: برای بررسی هر ویژگی در VSV^S (مانند جابه‌جایی یا توزیع‌پذیری)، تابع حاصل را روی یک عضو دلخواه s∈Ss \in S ارزیابی می‌کنیم. ویژگی مورد نظر با استفاده از ویژگی متناظر در بردار f(s)∈Vf(s) \in V اثبات می‌شود، و چون به ازای تمام s∈Ss \in S درست است، به کل تابع تعمیم می‌یابد.

۳. حل تشریحی گام‌به‌گام (Step-by-Step Solution)

تعریف اعمال و اثبات کامل اصول ده‌گانه

بخش اول: تعریف جمع و ضرب اسکالر طبیعی

برای هر دو تابع f,g∈VSf, g \in V^S و هر اسکالر c∈Fc \in \mathbb{F}، توابع f+gf + g و cfcf را با ضابطه‌های نقطه‌ای زیر برای هر s∈Ss \in S تعریف می‌کنیم:

  1. جمع توابع: (f+g)(s)=f(s)+g(s)(f + g)(s) = f(s) + g(s) (توضیح: جمع سمت راست، عمل جمع در فضای برداری VV است).
  2. ضرب اسکالر: (cf)(s)=c(f(s))(cf)(s) = c \big(f(s)\big) (توضیح: ضرب سمت راست، ضرب اسکالر در فضای برداری VV است).

بخش دوم: اثبات اصول موضوعه فضای برداری

فرض کنید f,g,h∈VSf, g, h \in V^S توابعی دلخواه و a,b∈Fa, b \in \mathbb{F} اسکالرهایی دلخواه باشند:

۱. بسته‌بودن تحت جمع و ضرب اسکالر

  • به ازای هر s∈Ss \in S، چون f(s)∈Vf(s) \in V و g(s)∈Vg(s) \in V هستند و VV تحت جمع بسته است، پس f(s)+g(s)∈Vf(s) + g(s) \in V. این یعنی ضابطه f+gf + g خروجی‌هایی درون VV تولید می‌کند؛ پس f+g∈VSf + g \in V^S.
  • مشابهاً چون c∈Fc \in \mathbb{F} و f(s)∈Vf(s) \in V، حاصل‌ضرب اسکالر cf(s)∈Vcf(s) \in V است؛ پس cf∈VScf \in V^S.

۲. جابه‌جایی در جمع (Commutativity)

به ازای هر s∈Ss \in S:

(f+g)(s)=f(s)+g(s)(f + g)(s) = f(s) + g(s)

چون جمع بردارها در فضای VV جابه‌جایی‌پذیر است (f(s)+g(s)=g(s)+f(s)f(s) + g(s) = g(s) + f(s)):

f(s)+g(s)=g(s)+f(s)=(g+f)(s)f(s) + g(s) = g(s) + f(s) = (g + f)(s)

چون برای همه s∈Ss \in S این تساوی برقرار است، نتیجه می‌گیریم:

f+g=g+ff + g = g + f

۳. شرکت‌پذیری در جمع (Associativity of Addition)

به ازای هر s∈Ss \in S:

((f+g)+h)(s)=(f+g)(s)+h(s)=(f(s)+g(s))+h(s)\big((f + g) + h\big)(s) = (f + g)(s) + h(s) = \big(f(s) + g(s)\big) + h(s)

به دلیل شرکت‌پذیری جمع در فضای برداری VV:

(f(s)+g(s))+h(s)=f(s)+(g(s)+h(s))=f(s)+(g+h)(s)=(f+(g+h))(s)\big(f(s) + g(s)\big) + h(s) = f(s) + \big(g(s) + h(s)\big) = f(s) + (g + h)(s) = \big(f + (g + h)\big)(s)

بنابراین:

(f+g)+h=f+(g+h)(f + g) + h = f + (g + h)

۴. وجود عضو همانی جمعی (Additive Identity)

تابع صفر 0:S→V\mathbf{0}: S \to V را به صورت ثابت تعریف می‌کنیم:

0(s)=0V(∀s∈S)\mathbf{0}(s) = 0_V \quad (\forall s \in S)

(که در آن 0V0_V بردار صفر فضای VV است). حال برای هر f∈VSf \in V^S و هر s∈Ss \in S:

(f+0)(s)=f(s)+0(s)=f(s)+0V=f(s)(f + \mathbf{0})(s) = f(s) + \mathbf{0}(s) = f(s) + 0_V = f(s)

(تساوی آخر به دلیل خاصیت بردار صفر در VV است). پس:

f+0=ff + \mathbf{0} = f

بنابراین 0\mathbf{0} عضو همانی جمعی در VSV^S است.

۵. وجود وارون جمعی (Additive Inverse)

برای هر تابع f∈VSf \in V^S، تابع قرینه −f:S→V-f: S \to V را به صورت نقطه‌ای تعریف می‌کنیم:

(−f)(s)=−f(s)(∀s∈S)(-f)(s) = -f(s) \quad (\forall s \in S)

(که −f(s)-f(s) وارون جمعی بردار f(s)f(s) در فضای VV است). حال برای هر s∈Ss \in S:

(f+(−f))(s)=f(s)+(−f)(s)=f(s)+(−f(s))=0V=0(s)\big(f + (-f)\big)(s) = f(s) + (-f)(s) = f(s) + \big(-f(s)\big) = 0_V = \mathbf{0}(s)

بنابراین:

f+(−f)=0f + (-f) = \mathbf{0}

پس هر تابع دارای وارون جمعی در VSV^S است.

۶. همانی ضرب اسکالر (Multiplicative Identity)

عدد 11 اسکالر یک در میدان F\mathbb{F} است. برای هر s∈Ss \in S:

(1f)(s)=1(f(s))(1f)(s) = 1\big(f(s)\big)

چون در فضای برداری VV داریم 1v=v1v = v به ازای هر v∈Vv \in V:

1(f(s))=f(s)1\big(f(s)\big) = f(s)

پس:

1f=f1f = f

۷. شرکت‌پذیری ضرب اسکالر (Associativity of Scalar Multiplication)

برای هر a,b∈Fa, b \in \mathbb{F} و هر s∈Ss \in S:

((ab)f)(s)=(ab)(f(s))\big((ab)f\big)(s) = (ab)\big(f(s)\big)

طبق شرکت‌پذیری ضرب اسکالر در VV:

(ab)(f(s))=a(b(f(s)))=a((bf)(s))=(a(bf))(s)(ab)\big(f(s)\big) = a\Big(b\big(f(s)\big)\Big) = a\big((bf)(s)\big) = \big(a(bf)\big)(s)

بنابراین:

(ab)f=a(bf)(ab)f = a(bf)

۸. توزیع‌پذیری اسکالر روی جمع توابع (Distributivity I)

برای هر a∈Fa \in \mathbb{F} و هر s∈Ss \in S:

(a(f+g))(s)=a((f+g)(s))=a(f(s)+g(s))\big(a(f + g)\big)(s) = a\big((f + g)(s)\big) = a\big(f(s) + g(s)\big)

طبق توزیع‌پذیری ضرب اسکالر روی جمع بردارها در VV:

a(f(s)+g(s))=af(s)+ag(s)=(af)(s)+(ag)(s)=(af+ag)(s)a\big(f(s) + g(s)\big) = a f(s) + a g(s) = (af)(s) + (ag)(s) = (af + ag)(s)

بنابراین:

a(f+g)=af+aga(f + g) = af + ag

۹. توزیع‌پذیری جمع اسکالرها روی یک تابع (Distributivity II)

برای هر a,b∈Fa, b \in \mathbb{F} و هر s∈Ss \in S:

((a+b)f)(s)=(a+b)(f(s))\big((a + b)f\big)(s) = (a + b)\big(f(s)\big)

طبق توزیع‌پذیری جمع اسکالرها در فضای VV:

(a+b)(f(s))=af(s)+bf(s)=(af)(s)+(bf)(s)=(af+bf)(s)(a + b)\big(f(s)\big) = a f(s) + b f(s) = (af)(s) + (bf)(s) = (af + bf)(s)

بنابراین:

(a+b)f=af+bf(a + b)f = af + bf

نتیجه‌گیری نهایی:

چون تمام اصول موضوعه دهگانه با تکیه بر اصول متناظر در فضای برداری VV اثبات شدند، مجموعه VSV^S به همراه اعمال معرفی‌شده یک فضای برداری کامل روی میدان F\mathbb{F} است. ■\blacksquare

۴. دام‌های رایج در حل این تیپ مسئله

نکات باریک‌تر از مو

  1. اشتباه گرفتن مقدار تابع با خود تابع: (f+g)(s)(f+g)(s) یک بردار منفرد در VV است، در حالی که f+gf+g یک موجود مجرد (یک تابع) در VSV^S است. نباید اثبات را در سطح عناصر رها کرد؛ باید صریحاً نوشت که برابری به ازای تمام s∈Ss \in S به معنای برابری توابع است.
  2. تفاوت VSV^S با FS\mathbb{F}^S: در متن درس آکسلر، فضای FS\mathbb{F}^S بررسی شده است که توابعی با مقادیر در میدان اعداد هستند. در این تمرین، مقادیر توابع خود بردار‌هایی از یک فضای دلخواه VV هستند (مثلاً توابعی که به هر عدد حقیقی، یک ماتریس یا یک بردار در R3\mathbb{R}^3 نسبت می‌دهند).

۵. پیوندها

پیوندهای این یادداشت ۵

یادداشت‌هایی که از این صفحه به آن‌ها پیوند داده شده است.

  • تعریف ۲۰.۱ فضای برداری
    پیش‌نمایش

    تعریف ۲۰.۱: فضای برداری (Vector Space)

    چکیده مفهومی به زبان ساده

    یک «فضای برداری» زمینی حاصل‌خیز برای محاسبات جبری است؛ مجموعه‌ای از اشیاء (به نام بردار) همراه با دو عمل جمع و ضرب اسکالر، که قوانین حساب و کتاب دبیرستانی (مانند جابه‌جایی، شرکت‌پذیری، پخش‌شدن ضرب روی جمع، وجود بردار صفر و عضو قرینه) دقیقاً و موبه‌مو در آن برقرار است.

  • نماد ۲۴.۱ فضای توابع FS
    پیش‌نمایش

    نماد ۲۴.۱: نماد فضای توابع FS\mathbb{F}^S (Function Space Notation)

    چکیده مفهومی به زبان ساده

    اگر SS یک مجموعه دلخواه (مانند یک بازه از اعداد، یک منحنی، یا حتی مجموعه‌ای از نام‌ها) باشد، نماد FS\mathbb{F}^S نشان‌دهنده مجموعه تمام توابعی است که از SS شروع شده و مقداری در F\mathbb{F} تولید می‌کنند. در این فضا، جمع دو تابع و ضرب یک عدد در تابع به صورت نقطه‌به‌نقطه (Pointwise) تعریف می‌شود.

  • مثال ۲۵.۱ فضای توابع FS یک فضای برداری است
    پیش‌نمایش

    مثال ۲۵.۱: فضای توابع FS\mathbb{F}^S یک فضای برداری است

    چکیده مفهومی به زبان ساده

    اگر SS هر مجموعه ناتهی باشد، مجموعه تمام توابع از SS به میدان F\mathbb{F} (با جمع و ضرب اسکالر نقطه‌به‌نقطه) یک فضای برداری کامل و معتبر است. چون ویژگی‌های جمع و ضرب اعداد در میدان F\mathbb{F} نقطه به نقطه به این توابع ارث می‌رسد!

  • تمرین ۶ بخش ۲.۱ بررسی فضای برداری اعداد حقیقی تعمیم‌یافته
    پیش‌نمایش

    تمرین ۶ بخش ۲.۱: بررسی فضای برداری اعداد حقیقی تعمیم‌یافته

    صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه‌های ۲۸ و ۲۹)

    فرض کنید ∞\infty و −∞-\infty دو شیء متمایز باشند که هیچ‌کدام در R\mathbb{R} نیستند. مجموعه R~=R∪{∞,−∞}\widetilde{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty, -\infty\} را در نظر بگیرید. جمع و حاصل‌ضرب دو عدد حقیقی معمولی است، و برای هر t∈Rt \in \mathbb{R} تعریف می‌کنیم:

    t(−∞)={∞t<00t=0−∞t>0,t∞={−∞t<00t=0∞t>0t(-\infty) = \begin{cases} \infty & t < 0 \\ 0 & t = 0 \\ -\infty & t > 0 \end{cases}, \qquad t\infty = \begin{cases} -\infty & t < 0 \\ 0 & t = 0 \\ \infty & t > 0 \end{cases}

    و همچنین:

    ∞+(−∞)=(−∞)+∞=0\infty + (-\infty) = (-\infty) + \infty = 0

    t+(−∞)=(−∞)+t=(−∞)+(−∞)=−∞t + (-\infty) = (-\infty) + t = (-\infty) + (-\infty) = -\infty

    t+∞=∞+t=∞+∞=∞t + \infty = \infty + t = \infty + \infty = \infty

    با این عمل‌های جمع و ضرب اسکالر، آیا R∪{∞,−∞}\mathbb{R} \cup \{\infty, -\infty\} یک فضای برداری روی R\mathbb{R} است؟ توضیح دهید.

  • تمرین ۸ بخش ۲.۱ مختلط‌سازی فضای برداری حقیقی
    پیش‌نمایش

    تمرین ۸ بخش ۲.۱: مختلط‌سازی یک فضای برداری حقیقی (VCV_{\mathbb{C}})

    صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، صفحه‌های ۲۹ و ۳۰)

    فرض کنید VV یک فضای برداری حقیقی (روی میدان R\mathbb{R}) باشد. مختلط‌سازی VV (Complexification of VV) که با VCV_{\mathbb{C}} نشان داده می‌شود، برابر با حاصل‌ضرب دکارتی V×VV \times V است. یک عنصر از VCV_{\mathbb{C}} یک جفت مرتب (u,v)(u, v) است که در آن u,v∈Vu, v \in V، اما قرارداد می‌کنیم آن را به صورت زیر بنویسیم:

    u+ivu + iv

    عمل جمع روی VCV_{\mathbb{C}} به صورت زیر تعریف می‌شود:

    (u1+iv1)+(u2+iv2)=(u1+u2)+i(v1+v2)(∀u1,v1,u2,v2∈V)(u_1 + iv_1) + (u_2 + iv_2) = (u_1 + u_2) + i(v_1 + v_2) \quad (\forall u_1, v_1, u_2, v_2 \in V)

    و ضرب اسکالر مختلط روی VCV_{\mathbb{C}} به صورت زیر تعریف می‌شود:

    (a+bi)(u+iv)=(au−bv)+i(av+bu)(∀a,b∈R, ∀u,v∈V)(a + bi)(u + iv) = (au - bv) + i(av + bu) \quad (\forall a, b \in \mathbb{R}, \, \forall u, v \in V)

    ثابت کنید که VCV_{\mathbb{C}} با این تعاریف، یک فضای برداری مختلط (روی میدان C\mathbb{C}) است.

ارجاعات به این یادداشت ۳

یادداشت‌هایی که به این صفحه پیوند داده‌اند.

حالت ارائه