تمرین ۸ بخش ۲.۱: مختلط‌سازی یک فضای برداری حقیقی ($V_{\mathbb{C}}$)

۱. تحلیل اولیه و باز کردن خواسته مسئله

• داده‌های مسئله:
  • $V$ یک فضای برداری حقیقی روی $\mathbb{R}$ است (تمام ۱۰ ویژگی فضای برداری برای اسکالرهای حقیقی و بردار‌های $V$ از قبل برقرارند).
  • مجموعه $V_{\mathbb{C}}$ شامل عبارات صوری $u + iv$ است که در آن $u$ (بخش حقیقی) و $v$ (بخش موهومی) بردارهایی از $V$ هستند.
  • تعاریف جمع مؤلفه‌ای و ضرب اسکالر شبیه ضرب اعداد مختلط با فرض $i^2 = -1$ تعریف شده‌اند.
• حکم مسئله:
  • باید اثبات کنیم که ساختار $(V_{\mathbb{C}}, +, \cdot)$ روی میدان اعداد مختلط $\mathbb{C}$ یک فضای برداری است؛ یعنی تمام اصول موضوعه دهگانه تعریف ۲۰.۱ روی اسکالرهای مختلط $\mathbb{C}$ برقرار است.
• چک‌لیست ابزارهای مورد نیاز:
  • اصول موضوعه فضای برداری $V$ روی $\mathbb{R}$ (توزیع‌پذیری، شرکت‌پذیری، عضو صفر و قرینه).
  • جبر اعداد مختلط: فرمول ضرب دو عدد مختلط $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + i(ad + bc)$.
  • تعریف ۲۲.۱: فضای برداری حقیقی و مختلط

۲. ایده و استراتژی حل (Problem-Solving Strategy)

مختلط‌سازی در ریاضیات مدرن روشی بنیادین برای تعمیم فضاهای حقیقی به فضاهای مختلط است (تا بتوان مقادیر ویژه مختلط ماتریس‌های حقیقی را بررسی کرد). اثبات این تمرین نیازمند حوصله و دقت موشکافانه جبری است. استراتژی به این صورت است:

1. ابتدا ویژگی‌های مربوط به عمل جمع (بسته‌بودن، جابه‌جایی، شرکت‌پذیری، عضو همانی و وارون) را بررسی می‌کنیم که به دلیل مؤلفه‌ای بودن جمع، بلافاصله از ویژگی‌های جمع در $V$ نتیجه می‌شوند.
2. سپس سراغ اصل همانی ضرب اسکالر با اسکالر $1 = 1 + 0i \in \mathbb{C}$ می‌رویم.
3. در گام بعد، شرکت‌پذیری ضرب اسکالر را با ضرب دو اسکالر مختلط $\alpha = a + bi$ و $\beta = c + di$ در بردار $z = u + iv$ می‌آزماییم و نشان می‌دهیم هر دو شیوه پرانتزبندی به یک بردار مشترک در $V_{\mathbb{C}}$ می‌رسند.
4. در پایان، دو اصل توزیع‌پذیری را با بسط جبری دقیق اثبات می‌کنیم.

۳. حل تشریحی گام‌به‌گام (Step-by-Step Solution)

فرض کنید $z_1 = u_1 + iv_1$ و $z_2 = u_2 + iv_2$ و $z_3 = u_3 + iv_3$ اعضای دلخواهی از $V_{\mathbb{C}}$ باشند (که در آن‌ها $u_k, v_k \in V$)، و $\alpha = a + bi$ و $\beta = c + di$ اسکالرهای دلخواهی از $\mathbb{C}$ باشند (که در آن‌ها $a, b, c, d \in \mathbb{R}$).

بخش الف: اصول موضوعه مربوط به جمع

۱. بسته‌بودن تحت جمع

چون $V$ روی $\mathbb{R}$ فضای برداری است، $u_1 + u_2 \in V$ و $v_1 + v_2 \in V$. بنابراین:

۲. جابه‌جایی جمع (Commutativity)

با توجه به جابه‌جایی جمع در فضای حقیقی $V$ ($u_1 + u_2 = u_2 + u_1$ و $v_1 + v_2 = v_2 + v_1$):

۳. شرکت‌پذیری جمع (Associativity of Addition)

با اعمال شرکت‌پذیری جمع در فضای $V$:

۴. وجود عضو همانی جمعی (Additive Identity)

عنصر صفر را به صورت $0_{V_{\mathbb{C}}} = 0 + i0$ تعریف می‌کنیم (که $0$ بردار صفر فضای $V$ است).

پس $0 + i0$ همانی جمعی در $V_{\mathbb{C}}$ است.

۵. وجود وارون جمعی (Additive Inverse)

برای هر $z = u + iv \in V_{\mathbb{C}}$، عضو قرینه را $-z = (-u) + i(-v)$ تعریف می‌کنیم:

پس هر عضو دارای وارون جمعی در $V_{\mathbb{C}}$ است.

بخش ب: اصول موضوعه مربوط به ضرب اسکالر

۶. بسته‌بودن تحت ضرب اسکالر

برای هر $\alpha = a + bi \in \mathbb{C}$ و $z = u + iv \in V_{\mathbb{C}}$:

چون $V$ فضای برداری حقیقی است، ترکیب‌های خطی $au - bv$ و $av + bu$ هر دو متعلق به $V$ هستند. در نتیجه $\alpha z \in V_{\mathbb{C}}$.

۷. همانی ضرب اسکالر (Multiplicative Identity)

عدد $1$ در میدان مختلط به صورت $1 + 0i$ نوشته می‌شود (یعنی $a = 1, b = 0$). طبق ضابطه ضرب اسکالر:

طبق قوانین فضای برداری حقیقی $V$، می‌دانیم $1u = u$، $1v = v$، و $0v = 0$، $0u = 0$:

بنابراین $1z = z$ برقرار است.

۸. شرکت‌پذیری ضرب اسکالر (Associativity of Scalar Multiplication)

می‌خواهیم نشان دهیم $(\alpha \beta)z = \alpha(\beta z)$. فرض کنیم $\alpha = a + bi$ و $\beta = c + di$ و $z = u + iv$.

• محاسبه سمت چپ: $(\alpha \beta)z$ ابتدا حاصل‌ضرب دو عدد مختلط را در $\mathbb{C}$ به دست می‌آوریم:

  $$\alpha \beta = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + i(ad + bc)$$

  حال این عدد مختلط را در بردار $u + iv$ ضرب می‌کنیم:

  $$(\alpha \beta)z = \Big( (ac - bd)u - (ad + bc)v \Big) + i \Big( (ac - bd)v + (ad + bc)u \Big)$$

  با باز کردن پرانتزها با استفاده از توزیع‌پذیری در $V$:

  $$= \big( acu - bdu - adv - bcv \big) + i \big( acv - bdv + adu + bcu \big) \quad \text{--- (رابطه ۱)}$$

• محاسبه سمت راست: $\alpha(\beta z)$ ابتدا $\beta z$ را محاسبه می‌کنیم:

  $$\beta z = (c + di)(u + iv) = (cu - dv) + i(cv + du)$$

  برای سادگی نام‌گذاری، فرض کنید $u' = cu - dv$ و $v' = cv + du$. حال اسکالر $\alpha = a + bi$ را در $u' + iv'$ ضرب می‌کنیم:

  $$\alpha(\beta z) = (a + bi)(u' + iv') = (au' - bv') + i(av' + bu')$$

  اکنون مقادیر $u'$ و $v'$ را جایگذاری می‌کنیم:

  • مؤلفه حقیقی: $$au' - bv' = a(cu - dv) - b(cv + du) = acu - adv - bcv - bdu = acu - bdu - adv - bcv$$
  • مؤلفه موهومی: $$av' + bu' = a(cv + du) + b(cu - dv) = acv + adu + bcu - bdv = acv - bdv + adu + bcu$$ در نتیجه حاصل سمت راست برابر است با: $$= \big( acu - bdu - adv - bcv \big) + i \big( acv - bdv + adu + bcu \big) \quad \text{--- (رابطه ۲)}$$

با مقایسه روابط ۱ و ۲ مشاهده می‌کنیم که دو طرف کاملاً بر هم منطبق هستند. پس خاصیت شرکت‌پذیری ضرب اسکالر برقرار است.

۹. توزیع‌پذیری اسکالر مختلط روی جمع بردارها (Distributivity I)

می‌خواهیم نشان دهیم $\alpha(z_1 + z_2) = \alpha z_1 + \alpha z_2$.

با اعمال ضرب در $\alpha = a + bi$:

با استفاده از توزیع‌پذیری در فضای حقیقی $V$ و سپس مرتب‌سازی جملات:

طبق تعریف جمع در $V_{\mathbb{C}}$، این عبارت تفکیک می‌شود به:

۱۰. توزیع‌پذیری جمع اسکالرهای مختلط روی بردار (Distributivity II)

می‌خواهیم نشان دهیم $(\alpha + \beta)z = \alpha z + \beta z$.

با اعمال ضرب در $z = u + iv$:

با اعمال توزیع‌پذیری اعداد روی بردارها در فضای حقیقی $V$:

با بازآرایی جملات بر اساس اندیس‌های متناظر:

طبق تعریف جمع در $V_{\mathbb{C}}$:

نتیجه‌گیری نهایی:

تمامی اصول موضوعه دهگانه با موفقیت بررسی و بدون هیچ‌گونه پرش استدلالی اثبات شدند. بنابراین مختلط‌سازی $V_{\mathbb{C}}$ یک فضای برداری مختلط کامل روی میدان $\mathbb{C}$ است. $\blacksquare$

۴. دام‌های رایج در حل این تیپ مسئله

۵. پیوندها

• مفاهیم تئوری مرتبط:
  • تعریف ۲۰.۱: اصول موضوعه فضای برداری
  • تعریف ۲۲.۱: فضای برداری حقیقی و مختلط
• تمرین قبلی: تمرین ۷ بخش ۲.۱ فضای برداری توابع