صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، مفاهیم پایه بخش ۲.۱)

فرض کنید $V$ یک فضای برداری روی میدان $\mathbb{F}$ باشد (که در آن $1 + 1 \neq 0$). عمل تفریق برداری را به صورت مرسوم به شکل $u - v = u + (-v)$ تعریف می‌کنیم.

1. ثابت کنید عمل تفریق به طور کلی خاصیت جابه‌جایی ندارد؛ یعنی تساوی $u - v = v - u$ برای تمام بردارها برقرار نیست.
2. مشخص کنید تحت چه شرط لازم و کافی بر روی بردارهای $u$ و $v$، تساوی $u - v = v - u$ برقرار است.
3. آیا عمل تفریق شرکت‌پذیر است؟ یعنی آیا $(u - v) - w = u - (v - w)$ همواره برقرار است؟

حل دقیق و بدون پرش جبری

بخش اول و دوم: تحلیل جابه‌جایی تفریق ($u - v \stackrel{?}{=} v - u$)

گام اول: شروع از فرض تساوی فرض می‌کنیم برای دو بردار $u, v \in V$ رابطه جابه‌جایی برقرار باشد:

$$u - v = v - u$$

بر اساس تعریف عمل تفریق، این معادله معادل است با:

$$u + (-v) = v + (-u)$$

گام دوم: اعمال عمل جمع برای جداسازی متغیرها به هر دو طرف تساوی فوق، بردار $v$ را اضافه می‌کنیم:

$$\Big( u + (-v) \Big) + v = \Big( v + (-u) \Big) + v$$

با استفاده از خاصیت شرکت‌پذیری و جابه‌جایی جمع در فضای برداری:

• سمت چپ: $$u + \Big( (-v) + v \Big) = u + 0 = u$$
• سمت راست: $$\Big( (-u) + v \Big) + v = -u + (v + v) = -u + 2v$$ بنابراین تساوی به صورت زیر درمی‌آید: $$u = -u + 2v$$

گام سوم: اضافه کردن $u$ به طرفین حال بردار $u$ را به هر دو سمت تساوی اضافه می‌کنیم:

$$u + u = \Big( -u + 2v \Big) + u = \Big( -u + u \Big) + 2v = 0 + 2v = 2v$$

در نتیجه:

$$2u = 2v \implies (1 + 1)u = (1 + 1)v$$

چون فرض شده که $1 + 1 \neq 0$ (ویژگی میدان‌های $\mathbb{R}$ و $\mathbb{C}$)، عدد اسکلار $2$ دارای وارون ضربی $\frac{1}{2} \in \mathbb{F}$ است. با ضرب طرفین در $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2}(2u) = \frac{1}{2}(2v) \implies \Big(\frac{1}{2} \cdot 2\Big)u = \Big(\frac{1}{2} \cdot 2\Big)v \implies 1u = 1v \implies u = v$$

نتیجه‌گیری: تساوی $u - v = v - u$ برقرار است اگر و تنها اگر $u = v$. بنابراین اگر در فضایی بردارهای متمایز وجود داشته باشند (هر فضای غیر صفر)، تفریق جابه‌جایی نخواهد بود. به عنوان مثال نقض مشخص در $\mathbb{R}^2$: برای $u = (1, 0)$ و $v = (0, 0)$:

$$u - v = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0)$$

$$v - u = (0, 0) - (1, 0) = (-1, 0)$$

چون $(1, 0) \neq (-1, 0)$، خاصیت جابه‌جایی به وضوح نقض می‌شود.

---

بخش سوم: تحلیل شرکت‌پذیری تفریق

آیا $(u - v) - w = u - (v - w)$؟

• محاسبه سمت چپ: $$(u - v) - w = \Big( u + (-v) \Big) + (-w) = u - v - w$$
• محاسبه سمت راست: $$u - (v - w) = u + \Big( -(v + (-w)) \Big) = u + (-v + -(-w)) = u + (-v + w) = u - v + w$$ برای برابری دو طرف، باید داشته باشیم: $$u - v - w = u - v + w$$ با اعمال قانون حذف جمعی برای عبارت $u - v$: $$-w = w \implies w + w = 0 \implies 2w = 0 \implies w = 0$$ بنابراین شرکت‌پذیری تفریق نیز تنها زمانی برقرار است که $w = 0$ باشد و در حالت کلی برقرار نیست. $\blacksquare$

هشدارهای مهم در اثبات‌های جبری مقدماتی

• تقسیم بر ۲ بدون ذکر مشخصه میدان: اگر میدان مورد بحث دارای مشخصه ۲ باشد (یعنی $1 + 1 = 0$ نظیر میدان دو عضوی $\mathbb{Z}_2$)، آنگاه $2u = 0$ همواره برقرار است و در نتیجه در آن میدان خاص $u - v = u + v = v - u$ همیشه جابه‌جاست! حتماً در برگه امتحان قید کنید که فرض می‌کنیم میدان $\mathbb{R}$ یا $\mathbb{C}$ است یا $\operatorname{char}(\mathbb{F}) \neq 2$.
• استفاده از شهود حسابی به جای اصول موضوعه: از نوشتن عبارات عامیانه مانند «چون $۳ - ۲ \neq ۲ - ۳$ پس در بردارها هم برقرار نیست» خودداری کنید؛ بردارها ساختار مشخصی دارند و باید دقیقاً تساوی $2u = 2v$ استخراج شود.