صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، تمرین ۶ و ۷ بخش ۲.۱)

بخش الف: فرض کنید مجموعه $\widetilde{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty, -\infty\}$ را همراه با تعاریف تعمیم‌یافته جمع و ضرب اسکالر در نظر بگیریم (که در آن برای هر $t \in \mathbb{R}$ داریم $t + \infty = \infty$ و برای $a > 0$ داریم $a\infty = \infty$ و $0 \cdot \infty = 0$). آیا $\widetilde{\mathbb{R}}$ یک فضای برداری روی $\mathbb{R}$ تشکیل می‌دهد؟ به طور دقیق بررسی کنید کدام اصول موضوعه نقض می‌شوند.

بخش ب (فضای توابع): فرض کنید $S$ یک مجموعه ناتهی و $V$ یک فضای برداری روی میدان $\mathbb{F}$ باشد. مجموعه تمامی توابع از $S$ به $V$ را با $V^S$ نشان می‌دهیم. جمع و ضرب اسکالر نقطه‌ای (pointwise) را روی $V^S$ به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$$(f + g)(s) = f(s) + g(s), \quad (cf)(s) = c f(s) \quad (\forall s \in S, c \in \mathbb{F}, f, g \in V^S)$$

اثبات کنید $V^S$ یک فضای برداری روی $\mathbb{F}$ است.

تحلیل دقیق و آزمون اصول موضوعه

بررسی بخش الف: چرا $\mathbb{R} \cup \{\infty, -\infty\}$ فضای برداری نیست؟

برای رد این ساختار، چندین اصل موضوعه به طور فاحش نقض می‌شوند:

نقض اول: خاصیت توزیع‌پذیری جمع اسکالرها روی بردار فرض کنید $a = 1$ و $b = -1$ و بردار $v = \infty$ باشد. طبق اصل موضوعه توزیع‌پذیری باید داشته باشیم:

$$(a + b)v = av + bv$$

حال دو طرف را مستقلاً محاسبه می‌کنیم:

• سمت چپ: $$(1 + (-1))\infty = 0 \cdot \infty = 0$$
• سمت راست: $$1 \cdot \infty + (-1) \cdot \infty = \infty + (-\infty)$$ اما عبارت $\infty + (-\infty)$ یا تعریف‌نشده است، یا اگر آن را هر عددی (مثلاً $0$) تعریف کنیم، آنگاه با رابطه دیگر تناقض ایجاد می‌شود: اگر $\infty + (-\infty) = 0$ باشد، با افزودن $1$ به دو طرف خواهیم داشت: $$1 + (\infty + (-\infty)) = 1 + 0 = 1$$ در حالی که با خاصیت شرکت‌پذیری: $$(1 + \infty) + (-\infty) = \infty + (-\infty) = 0$$ که نتیجه می‌دهد $1 = 0$ و این یک تناقض صریح است!

نقض دوم: نبود وارون جمعی برای $\infty$ اگر عنصری مانند $w$ وجود داشته باشد که وارون جمعی $\infty$ باشد، باید $\infty + w = 0$. اگر $w \in \mathbb{R}$ باشد، آنگاه $\infty + w = \infty \neq 0$. اگر $w = \infty$ باشد، $\infty + \infty = \infty \neq 0$. اگر $w = -\infty$ باشد، همان‌طور که دیدیم شرکت‌پذیری را تخریب می‌کند.

نتیجه بخش الف: مجموعه $\mathbb{R} \cup \{\infty, -\infty\}$ تحت هیچ تعریف سازگاری نمی‌تواند فضای برداری باشد.

---

بررسی بخش ب: اثبات کامل فضای برداری بودن $V^S$

فرض کنید $f, g, h \in V^S$ و $a, b \in \mathbb{F}$ باشند.

1. بسته بودن تحت جمع و ضرب اسکالر: به ازای هر $s \in S$، چون $f(s), g(s) \in V$ و $V$ فضای برداری است، $f(s) + g(s) \in V$ و $a f(s) \in V$. بنابراین $f + g$ و $af$ توابعی معتبر از $S$ به $V$ هستند.

2. جابه‌جایی جمع: برای هر $s \in S$:

   $$(f + g)(s) = f(s) + g(s) = g(s) + f(s) = (g + f)(s)$$

   (برابری وسط به دلیل جابه‌جایی جمع در $V$ برقرار است). چون این تساوی به ازای تمام $s \in S$ برقرار است، $f + g = g + f$.

3. شرکت‌پذیری جمع: برای هر $s \in S$:

   $$((f + g) + h)(s) = (f(s) + g(s)) + h(s) = f(s) + (g(s) + h(s)) = (f + (g + h))(s)$$

   (به دلیل شرکت‌پذیری جمع در $V$). پس $(f + g) + h = f + (g + h)$.

4. عضو همانی جمع: تابع صفر $\mathbf{0}: S \to V$ را با ضابطه $\mathbf{0}(s) = 0_V$ به ازای همه $s \in S$ تعریف می‌کنیم. آنگاه برای هر $f \in V^S$ و هر $s \in S$:

   $$(f + \mathbf{0})(s) = f(s) + \mathbf{0}(s) = f(s) + 0_V = f(s)$$

   بنابراین $f + \mathbf{0} = f$.

5. وارون جمعی: برای هر $f \in V^S$، تابع $-f$ را با ضابطه $(-f)(s) = -f(s)$ تعریف می‌کنیم. آنگاه:

   $$(f + (-f))(s) = f(s) + (-f(s)) = 0_V = \mathbf{0}(s) \implies f + (-f) = \mathbf{0}$$

6. همانی ضرب اسکالر:

   $$(1f)(s) = 1(f(s)) = f(s) \implies 1f = f$$

7. شرکت‌پذیری ضرب اسکالر:

   $$((ab)f)(s) = (ab)f(s) = a(b f(s)) = a((bf)(s)) = (a(bf))(s) \implies (ab)f = a(bf)$$

8. توزیع‌پذیری‌ها:

   • اسکالر روی توابع: $$(a(f + g))(s) = a(f(s) + g(s)) = a f(s) + a g(s) = (af + ag)(s)$$
   • جمع اسکالرها روی تابع: $$((a + b)f)(s) = (a + b)f(s) = a f(s) + b f(s) = (af + bf)(s)$$

بنابراین تمامی شرایط تعریف ۲۰.۱ آکسلر برقرار بوده و $V^S$ یک فضای برداری کامل روی $\mathbb{F}$ است. $\blacksquare$

هشدارهای مهم سر جلسه آزمون

• اشتباه در برابری دو تابع: در بخش توابع، هیچ‌گاه ننویسید $f+g = g+f$ بدون آنکه آن را به ازای یک نقطه دلخواه $s \in S$ نشان دهید. دو تابع زمانی برابرند که به ازای تک‌تک اعضای دامنه خروجی یکسان داشته باشند.
• غفلت از ماهیت $0 \cdot v$: در فضاهای شامل بی‌نهایت، اغلب دانشجویان فرض می‌کنند $0 \cdot \infty = 0$ همواره درست کار می‌کند؛ در حالی که همین فرض موجب تخریب خاصیت توزیع‌پذیری جمع اسکالرها $(1 + (-1))\infty$ می‌شود.
• نادیده گرفتن نقش فضای برد $V$: دقت کنید که اگر $V$ یک فضای برداری نباشد (مثلاً فقط یک نیم‌گروه باشد)، آنگاه $V^S$ نیز فضای برداری نخواهد شد.