صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، قضیه ۳۱.۲ و کاربردهای آن در $\mathcal{P}_3(\mathbb{F})$)

بخش الف (قضیه کاهش به پایه): قضیه کاهش مجموعه مولد به پایه را بیان و اثبات کنید: نشان دهید هر لیست از بردارها که فضای برداری با بعد متناهی $V$ را گسترش می‌دهد، می‌تواند به یک پایه از $V$ کاهش یابد.

بخش ب (حل تحلیلی و عددی در فضای چندجمله‌ای‌ها): لیست ۶ چندجمله‌ای زیر را در فضای $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ در نظر بگیرید:

$$p_1(x) = 2, \quad p_2(x) = 2 + x, \quad p_3(x) = 4 + 2x, \quad p_4(x) = 1 + x + x^2, \quad p_5(x) = x^2 - 1, \quad p_6(x) = x^3 + x$$

1. با اجرای الگوریتم لم وابستگی خطی، تک‌تک چندجمله‌ای‌های زائد را شناسایی و حذف کنید.
2. پایه حاصل از این الگوریتم را به دست آورید و بعد زیرفضای تولیدشده را تعیین کنید.
3. توضیح دهید چرا هیچ لیستی از ۳ چندجمله‌ای نمی‌تواند کل فضای $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ را گسترش دهد.

اثبات تئوری و اجرای فرآیند غربالگری

بخش الف: اثبات قضیه کاهش مجموعه مولد به پایه (قضیه ۳۱.۲ آکسلر)

گام اول (شروع با لیست مولد): فرض کنید لیست $B = (v_1, \dots, v_m)$ فضای $V$ را گسترش دهد.

گام دوم (مرحله اول الگوریتم): اگر $v_1 = 0$ باشد، آن را از لیست $B$ حذف می‌کنیم. اگر $v_1 \neq 0$ باشد، آن را نگه می‌داریم.

گام سوم (مراحل میانی $j = 2, \dots, m$): در مرحله $j$ام، بردار $v_j$ را ارزیابی می‌کنیم:

• اگر $v_j \in \operatorname{span}(v_1, \dots, v_{j-1})$ باشد، طبق لم وابستگی خطی (۱۹.۲)، با حذف $v_j$، گستره بردارهای باقیمانده تغییر نخواهد کرد. بنابراین $v_j$ را حذف می‌کنیم.
• اگر $v_j \notin \operatorname{span}(v_1, \dots, v_{j-1})$ باشد، $v_j$ را در لیست نگه می‌داریم.

گام چهارم (پایان و نتیجه‌گیری): پس از $m$ مرحله، فرآیند پایان می‌یابد.

• لیست باقیمانده هنوز $V$ را گسترش می‌دهد، زیرا در هر مرحله حذفی، طبق لم وابستگی خطی، گستره حفظ شده است.
• لیست باقیمانده مستقل خطی است، زیرا طبق نحوه ساخت، هیچ برداری در گستره بردارهای قبلی خود نیست؛ پس طبق لم وابستگی خطی نمی‌تواند وابسته خطی باشد. چون لیست باقیمانده هم مستقل خطی است و هم مولد $V$ است، طبق تعریف ۲۶.۲ آکسلر، این لیست یک پایه برای $V$ است. $\blacksquare$

---

بخش ب: اجرای محاسباتی در $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$

چندجمله‌ای‌ها عبارتند از:

$$p_1 = 2, \quad p_2 = 2 + x, \quad p_3 = 4 + 2x, \quad p_4 = 1 + x + x^2, \quad p_5 = x^2 - 1, \quad p_6 = x^3 + x$$

مرحله ۱ (بررسی $p_1 = 2$): چندجمله‌ای $p_1$ صفر نیست ($p_1 \neq 0$). پس $p_1$ نگه داشته می‌شود. گستره فعلی: تمام چندجمله‌ای‌های ثابت ($\operatorname{span}(1)$).

مرحله ۲ (بررسی $p_2 = 2 + x$): آیا $p_2 \in \operatorname{span}(p_1)$؟ اعضای $\operatorname{span}(p_1)$ ثابت هستند، در حالی که $p_2$ درجه ۱ دارد ($x$ دارد). بنابراین هیچ عددی مانند $c$ وجود ندارد که $2 + x = c(2)$. پس $p_2 \notin \operatorname{span}(p_1)$. $p_2$ نگه داشته می‌شود. لیست حفظ‌شده: $(p_1, p_2)$. گستره فعلی: چندجمله‌ای‌های درجه حداکثر ۱ ($\mathcal{P}_1(\mathbb{R})$).

مرحله ۳ (بررسی $p_3 = 4 + 2x$): آیا $p_3 \in \operatorname{span}(p_1, p_2)$؟ به وضوح دیده می‌شود:

$$p_3(x) = 4 + 2x = 2(2 + x) = 2 p_2(x)$$

بنابراین $p_3 \in \operatorname{span}(p_1, p_2)$. طبق لم وابستگی خطی، $p_3$ بردار زائد اول است و حذف می‌شود.

مرحله ۴ (بررسی $p_4 = 1 + x + x^2$): آیا $p_4 \in \operatorname{span}(p_1, p_2)$؟ بردارهای قبلی $p_1$ و $p_2$ هر دو حداکثر درجه ۱ دارند؛ بنابراین هر ترکیب خطی از آن‌ها درجه حداکثر ۱ دارد:

$$\forall c_1, c_2 \in \mathbb{R}: \quad \deg(c_1 p_1 + c_2 p_2) \le 1$$

در حالی که $\deg(p_4) = 2$ است. بنابراین غیرممکن است که $p_4$ در گستره قبلی‌ها باشد:

$$p_4 \notin \operatorname{span}(p_1, p_2)$$

پس $p_4$ نگه داشته می‌شود. لیست حفظ‌شده: $(p_1, p_2, p_4)$. گستره فعلی: چندجمله‌ای‌های درجه حداکثر ۲ ($\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$).

مرحله ۵ (بررسی $p_5 = x^2 - 1$): آیا $p_5 \in \operatorname{span}(p_1, p_2, p_4)$؟ بررسی می‌کنیم آیا اعدادی مانند $a, b, c$ وجود دارند که $p_5 = a p_1 + b p_2 + c p_4$:

$$x^2 - 1 \stackrel{?}{=} a(2) + b(2 + x) + c(1 + x + x^2) = (2a + 2b + c) + (b + c)x + c x^2$$

مقایسه ضرایب توان‌های $x$:

• ضریب $x^2$: $c = 1$
• ضریب $x$: $b + c = 0 \implies b + 1 = 0 \implies b = -1$
• جمله ثابت: $2a + 2b + c = -1 \implies 2a + 2(-1) + 1 = -1 \implies 2a - 1 = -1 \implies 2a = 0 \implies a = 0$ دستگاه جواب یکتای $(a, b, c) = (0, -1, 1)$ دارد! بررسی صحت رابطه: $$0 \cdot p_1 - 1 \cdot p_2 + 1 \cdot p_4 = -(2 + x) + (1 + x + x^2) = x^2 - 1 = p_5$$ بنابراین $p_5 \in \operatorname{span}(p_1, p_2, p_4)$. طبق الگوریتم، $p_5$ بردار زائد دوم است و حذف می‌شود.

مرحله ۶ (بررسی $p_6 = x^3 + x$): آیا $p_6 \in \operatorname{span}(p_1, p_2, p_4)$؟ تمام اعضای گستره فعلی درجه حداکثر ۲ دارند، اما $\deg(p_6) = 3$. پس $p_6$ نمی‌تواند در گستره آن‌ها باشد:

$$p_6 \notin \operatorname{span}(p_1, p_2, p_4)$$

بنابراین $p_6$ نگه داشته می‌شود.

نتیجه نهایی پایه: لیست کاهش‌یافته مستقل خطی عبارت است از:

$$\mathcal{B} = (p_1, p_2, p_4, p_6) = \big( 2, \; 2 + x, \; 1 + x + x^2, \; x^3 + x \big)$$

این لیست شامل ۴ بردار مستقل در $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ است. چون $\dim \mathcal{P}_3(\mathbb{R}) = 4$ است، این لیست یک پایه کامل برای $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ تشکیل می‌دهد.

---

بخش ۳: چرا ۳ چندجمله‌ای نمی‌توانند $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ را گسترش دهند؟

بر طبق قضیه ۲۲.۲ آکسلر: «طول هر لیست مستقل خطی نمی‌تواند بزرگ‌تر از طول هر لیست مولد باشد.» ما می‌دانیم پایه استاندارد $\{1, x, x^2, x^3\}$ یک لیست مستقل خطی به طول ۴ در $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ است. اگر لیستی از ۳ چندجمله‌ای وجود داشت که $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ را گسترش می‌داد، آنگاه طبق قضیه ۲۲.۲ باید طول لیست مستقل خطی ($\le 4$) کوچک‌تر یا مساوی طول لیست مولد ($\le 3$) می‌بود؛ یعنی:

$$4 \le 3$$

که این یک تناقض آشکار است! بنابراین هیچ لیستی با طول کمتر از ۴ نمی‌تواند $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ را گسترش دهد. $\blacksquare$

نکات کلیدی برای جلسه آزمون

1. اشتباه در بررسی درجات: هر زمان چندجمله‌ای جدید دارای درجه‌ای اکیداً بزرگ‌تر از تمام چندجمله‌ای‌های قبلی بود، نیاز به حل دستگاه معادلات ندارید! بلافاصله بنویسید به دلیل اختلاف درجه نمی‌تواند در گستره قبلی‌ها باشد.
2. حذف بردار غیرمجاز: اگر در مرحله ۵ بردار $p_5$ حذف شد، نباید در مرحله ۶ به آن ارجاع دهید. مرحله ۶ فقط با بردارهای حفظ‌شده $(p_1, p_2, p_4)$ مقایسه می‌شود.
3. عدم بیان قضیه ۲۲.۲ در توجیه بخش ۳: در پاسخ به این که چرا ۳ چندجمله‌ای نمی‌توانند فضا را گسترش دهند، صرفاً نگویید «چون بعد ۴ است». باید به نامساوی طول لیست مستقل خطی نسبت به لیست مولد (قضیه ۲۲.۲) ارجاع دهید، زیرا مفهوم بعد خود بر پایه همین قضیه تعریف شده است.