صورت دقیق مسئله (کتاب آکسلر، تمرین ۴ بخش ۱.۱)

نشان دهید که برای هر سه عدد مختلط $\lambda, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$، رابطه توزیع‌پذیری ضرب روی جمع برقرار است:

$$\lambda(\alpha + \beta) = \lambda\alpha + \lambda\beta$$

اثبات دقیق بر مبنای مؤلفه‌های حقیقی

گام اول: تعریف نمادها و متغیرها فرض می‌کنیم بخش‌های حقیقی و موهومی این اعداد به صورت زیر باشند:

$$\lambda = a + bi, \quad \alpha = c + di, \quad \beta = e + fi$$

که در آن $a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}$ هستند.

گام دوم: محاسبه سمت چپ تساوی (LHS) ابتدا حاصل جمع $\alpha + \beta$ را داخل پرانتز محاسبه می‌کنیم:

$$\alpha + \beta = (c + di) + (e + fi) = (c + e) + i(d + f)$$

حال $\lambda$ را در این حاصل جمع ضرب می‌کنیم:

$$\lambda(\alpha + \beta) = (a + bi)\Big( (c + e) + i(d + f) \Big)$$

بر طبق تعریف ضرب دو عدد مختلط، داریم:

$$\lambda(\alpha + \beta) = \Big[ a(c + e) - b(d + f) \Big] + i \Big[ a(d + f) + b(c + e) \Big]$$

با اعمال خاصیت توزیع‌پذیری و جابه‌جایی در میدان اعداد حقیقی $\mathbb{R}$، پرانتزها را باز می‌کنیم:

$$\text{بخش حقیقی (LHS)} = ac + ae - bd - bf$$

$$\text{بخش موهومی (LHS)} = ad + af + bc + be$$

بنابراین:

$$\lambda(\alpha + \beta) = (ac + ae - bd - bf) + i(ad + af + bc + be) \quad \text{--- (۱)}$$

گام سوم: محاسبه سمت راست تساوی (RHS) حال حاصل ضرب‌های $\lambda\alpha$ و $\lambda\beta$ را به طور جداگانه تشکیل می‌دهیم:

$$\lambda\alpha = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + i(ad + bc)$$

$$\lambda\beta = (a + bi)(e + fi) = (ae - bf) + i(af + be)$$

اکنون این دو عدد مختلط را با هم جمع می‌کنیم:

$$\lambda\alpha + \lambda\beta = \Big[ (ac - bd) + i(ad + bc) \Big] + \Big[ (ae - bf) + i(af + be) \Big]$$

طبق تعریف جمع در $\mathbb{C}$، بخش‌های حقیقی با هم و بخش‌های موهومی با هم جمع می‌شوند:

$$\lambda\alpha + \lambda\beta = \Big( (ac - bd) + (ae - bf) \Big) + i \Big( (ad + bc) + (af + be) \Big)$$

با استفاده از خاصیت جابه‌جایی و شرکت‌پذیری جمع در $\mathbb{R}$، جملات را بازآرایی می‌کنیم:

$$\lambda\alpha + \lambda\beta = (ac + ae - bd - bf) + i(ad + af + bc + be) \quad \text{--- (۲)}$$

گام چهارم: نتیجه‌گیری نهایی با مقایسه روابط (۱) و (۲) ملاحظه می‌شود که بخش حقیقی LHS با بخش حقیقی RHS و بخش موهومی LHS با بخش موهومی RHS دقیقاً برابر است:

$$\lambda(\alpha + \beta) = \lambda\alpha + \lambda\beta$$

بنابراین خاصیت توزیع‌پذیری ضرب روی جمع در $\mathbb{C}$ با تکیه بر اصول موضوعه $\mathbb{R}$ اثبات گردید. $\blacksquare$

نکات باریک‌تر از مو در برگه امتحان

1. استدلال دور باطل (Circular Reasoning): بزرگترین اشتباه این است که بنویسید: $$(a+bi)(c+di+e+fi) = (a+bi)(c+di) + (a+bi)(e+fi)$$ بدون اینکه آن را به اعداد حقیقی تجزیه کنید! فرض سوال این است که شما هنوز نمی‌دانید ضرب در $\mathbb{C}$ توزیع‌پذیر است، بنابراین نمی‌توانید مستقیماً پرانتز را با نماد $i$ پخش کنید.
2. اشتباه در علامت توان دوم واحد موهومی ($i^2 = -1$): هنگام ضرب دو بخش موهومی $bi \cdot di = bd \cdot i^2 = -bd$ علامت منفی را فراموش نکنید.
3. عدم ارجاع به خواص $\mathbb{R}$: حتماً در برگه امتحان قید کنید که جابه‌جایی و بازآرایی جملات به دلیل ویژگی‌های میدان اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ مجاز است.